超高压不锈钢弯管塑性极限载荷的有限元分析
1. 非线性方程组的求解方法
塑性以产生不可恢复的永久变形为主要特征，其应力应变曲线不再呈简单的线性关系，而是与加载历史有关。塑性理论一般包括3个主要方面：屈服准则、流动准则和强化准则。
只要确定了构件某点的应力分布和屈服准则，就可以确定是否有塑性发生。ANSYS中涉及的常用屈服准则有3个：Von Mises准则、Hill准则、Drucker-Prager (DP)准则。Von Mises准则是一个比较通用的各向同性准则，尤其适用于金属材料；Hill准则则考虑了材料的各向异性。DP准则考虑了材料由于屈服而引起的体积膨胀，适用于混凝土、土体等材料。流动准则描述了发生屈服时，塑性应变的方向，即屈服是怎样发展的。强化准则描述了初始屈服准则随着塑性应变的增加是怎样发展的。ANSYS程序中使用了三种强化准则：等向强化、随动强化和混合强化。
本书研究的材料，屈服准则服从 Von Mises准则，强化准则选择双线性各向同性等向强化（BISO)模型。BISO选项需要输入弹性模量和切线模量两个参数，对大应变问题分析较佳,图2-15为BISO模型。
a. 求解器的确定
ANSYS 程序求解通常使用 Newton-Raphson(牛顿－拉普森）平衡迭代，它迫使在每一个载荷增量的末端解达到平衡收敛（在某个容限范围内）。在每次求解前，NR方法估算出残差矢量，这个矢量是回复力（对应于单元应力的载荷）和所加载荷的差值。程序然后使用非平衡载荷进行线性求解，且核查收敛性。如果不满足收敛准则，重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解。持续这种迭代过程直到问题收敛。
另外一种迭代方法－弧长法，弧长方法导致NR平衡迭代沿一段弧收敛，从而即使当正切刚度矩阵的倾斜为零或负值时，也往往阻止发散。NR方法和弧长法以图形表示在图2-16中。
NR选项要求在每次求解前估算出单元力和所加荷载的差值，对刚度矩阵进行修正后，进行一次平衡迭代，使在荷载增量的末端解达到平衡收敛，如果不能收敛，程序将抛弃发散的迭代用正切和正割刚度矩阵的加权组合重新开始求解并检查收敛性，NR方法迭代过程如上图2-16(a)所示。预测器（Pred)和自动时间步（Autots)是两个重要的工具，打开它们的好处是，ANSYS可以根据结构对施加荷载的响应情况自动计算每个子步结束时的最优时间步并对求解进行预测，以加速收敛。本书采用程序自动选择的Newton-Raphson求解器，在求解设置时选择（NROPT,AUTO)选项。
b. 收敛准则（CNVTOL)
采用程序默认的收敛准则，程序将以VALUE·TOLER的值对力进行收敛检查。VALUE 的默认值是在所加载荷（或所加位移，Newton-Raphson回复力）的SRSS和MINREF(其缺省为1.0)中，取值较大者。TOLER的缺省值是0.001。
2. 超高压弯管塑性有限元分析的模型
超高压不锈钢弯管的弹塑性有限元模型和其弹性分析完全一致，见图2-6。所不同的是塑性分析时，考虑到材料的强化和Bauschinger效应，采用双线性随动强化模型。弯管的材料为 34CrNi3MoA,其力学性能为：μ=0.28,E=205GPa,c,=800 MPa,σb=950 MPa,E,=10.25GPa.在利用ANSYS软件进行有限元分析时选择 BKIN 选项，该选项假定总应力范围等于屈服应力的2倍，采用Von Mises屈服准则，材料的本构关系如图2-17所示。
3. 塑性极限载荷的确定方法
对工程结构进行弹塑性计算，往往遇到求解非线形方程边值问题的困难。准确地给出弹塑性变形过程的数学描述是困难的。对于由理想塑性材料制成的构件或结构，当外载荷达到某一值时，即使载荷不再增加，塑性变形仍可继续增长，这种状态称为极限状态，而这种状态所对应的外载荷称为极限载荷。由于本书研究的弯管所用的材料是双线性的随动强化材料，弯管在内侧内壁首先屈服后，屈服区域逐渐向外扩展，而随着载荷的增加，内侧内壁将最先达到材料的强度极限，所以，本书以使弯管的危险点的Von Mises屈服应力达到材料的强度极限的内压为结构的极限载荷。
4. 约束条件及载荷
首先根据本问题的实际定义分析类型为静力分析，选择 Static 选项。根据该结构的特点，在内压作用下，在对称面上施加对称约束，在两个端面上分别施加法向约束。
为了既满足精度的要求又能快速求解，施加载荷时共有10个载荷步，每个载荷步设置10个子步，同时使用程序自动控制的自动时间分步（AUTOTS),计算时根据ANSYS软件的特点，自己编制了参数化的前处理程序。
5. 超高压弯管外直径对塑性极限载荷的影响
按照第二章的建模方法，取工程上常用的3种不锈钢弯管外直径，分别计算了在K和R/D保持不变情况下弯管的塑性极限载荷。其计算结果见表2-2。
从表中数据可知，当K与R/D保持不变，只改变D的大小时，弯管的塑性极限载荷不变，可见超高压不锈钢弯管的极限载荷与D无关。因此，在研究受内压作用下超高压弯管的极限载荷时，可以固定D的大小，只考虑K和R/D对极限内压的影响。
6. K与R/D对弯管的极限载荷的影响研究
取外直径为78mm,径比K和弯曲半径R/D不同的25种超高压弯管进行塑性极限载荷的有限元分析，其计算结果如表2-2所示，根据有限元的计算结果，拟合出了近似计算公式（2-15).将公式（2-15)的计算结果和文献给出的计算公式（2-13)的计算结果比较发现当 R/D较小时，两者的误差较大，由文献计算的结果偏于保守。主要原因是公式（2-13)把由公式（2-14)中的σ换成σ.而得到，而公式（2-14)是由理想塑性材料得到的，没有考虑材料的强化和Bauschinger 效应。
图2-18描绘了R/D一定的情况下，弯管的塑性极限载荷随径比K的变化规律，从图中可以看出，在R/D一定的情况下弯管的极限载荷随径比K的增大而增大，且增大的幅度较大。当R/D大于5时弯管的极限载荷已经很接近直管的塑性极限载荷。在K一定的情况下，弯管的塑性极限载荷也随R/D的增大而增大，并逐渐靠近直管时的极限载荷，但增大的幅度很小。
用最小二乘法对塑性极限载荷关于弯管径比K的变化关系进行二次曲线拟合，二次曲线形式为：
Pjx=A0+A1×K+A2×K2 （2-15)
可以得到如下的近似计算公式：
R/D=1时：
Pjx=-899.295 4+1055.577×K-155.5833×K2 （2-16)
R/D=2时：
Pjx=-964.9008 +1154.8416×K-174.8456×K2 （2-17)
R/D=3时：
Pjx=-1008.5294+1214.9833×K-188.8487×K2 （2-18)
R/D=4时：
Pjx=-1014.936 1+1 227.044 7×K-191.1358×K2 （2-19)
R/D=5时：
Pjx=-1016.763+1231.8412×K-191.756 2×K2 （2-20)
为了给出一个统一的计算公式，现在考察式（2-16)~(2-20)的系数关于R/D的变化规律。
从图2-20中可以看出，二次曲线的系数与R/D成单调变化，同样可以用最小二乘法来对其进行拟合。
A0=-813.1872-98.9672×(R/D)+11.7458×(R/D)2 （2-21)
A1=931.213+143.8215×(R/D)-16.8926×(R/D)2 （2-22)
A2=-129.3999-29.8172×(R/D)+3.4925×(R/D)2（2-23)
这样弯管的塑性极限载荷的近似计算公式就可以用公式（2-15)来计算。
其中：A0、A1、A2是R/D的函数，由式（2-21)~(2-23)给出。
公式的适用范围：R/D≤5, 1.2≤K≤2.3,即常用的厚壁弯管。
表2-3中给出了近似公式计算结果和参考文献的计算结果的相对误差，
最大的误差为31%,主要原因是参考公式是直接用材料的强度极限来代替屈服极限而得到，没有考虑强化材料的实际效果。其相对误差按下面的计算方法计算：
相对误差＝公式（2-13)解－近似计算公式解 / 近似计算公式解 ×100%
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